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高等数学

函数极限连续, 一元函数微分学, 一元函数积分学

高数总结, 泰勒公式, 函数概念的理解, 求极限

高数常用结论

线性代数

线代总结

线代常用结论

高等数学

函数极限连续

函数概念

两个基本要素

定义域

对应规则

复合函数

内层值域交外层定义域不等于空集

反函数

x, y 一一对应

函数性态

单调性

判定

$单调增$

$单调不减$

反例:

$单调增$

奇偶性

判定

$是偶函数是奇函数是偶函数$

注意: 连续的奇函数其原函数都是偶函数

连续的偶函数其原函数之一是奇函数

周期性

判定

可导的周期函数其导函数为周期函数

周期函数的原函数是周期函数的充要条件是其在一个周期上的积分为零

注意: 周期函数的原函数不一定是周期函数

$是周期函数$

有界性

判定

$在上连续在上有界$

$在上连续且和存在在上有界$

$在有限区间有界在该有限区间有界$

极限

极限概念

数列极限可转化为函数极限从而进行计算

极限与该点函数值无关

趋向而不等于

经典错误

在它的去心邻域内总存在没有定义的点

极限性质

局部有界性

保号性 -> 保序性

$时$

极限存在准则

夹逼准则

单调有界数列必有极限

存在 + 存在 = 不存在

不存在 + 不存在 = 不一定

无穷小

有限个无穷小的和仍是无穷小

有限个无穷小的积仍是无穷小

无穷小量与有界量的积仍是无穷小

低阶无穷小 + 高阶无穷小 ~ 低阶无穷小

无穷大

$无界变量$

无穷大: 都很大

无界变量: 有很大

常用基本极限

连续

间断点

第一类间断点: 左右极限都存在

可去间断点

跳跃间断点

第二类间断点: 左右极限中至少一个不存在

无穷间断点

震荡间断点

连续函数的性质

初等函数在其定义区间内处处连续

定义区间不唯一, 定义域唯一

有界性

最值性

介值性

一元函数微分学

导数与微分

极值和拐点

极值点, 驻点, 拐点

$极值点驻点$

$可导的极值点驻点$

$拐点凹凸性改变的点$

$驻点极值点拐点$

极值的一个必要, 三个充分

一个必要: 可导函数在该点取得极值的必要条件是该点导数等于0

第一充分: f(x)在去心邻域可导, 其导数在两侧异号, 存在极值

第二充分: f(x)一阶导等于0, 二阶导不等于0

第三充分: f(x)所有 n-1阶导等于0, n阶导不等于0, n为偶数, 有极值, n为奇数, 无极值

拐点的判定: 一个必要, 三个充分

将极值点的必要条件和充分条件中的导数阶数提高一阶便是拐点的一个必要条件和三个充分条件

渐进线

水平渐近线: 2条?

垂直渐近线

斜渐近线: 2条?

斜渐近线

曲率

描述弯曲程度

$曲率半径$

方程的根

存在性

零点定理

罗尔定理

个数

单调性

罗尔定理的推论: 若在区间上f(x)的n阶导不等于0, 则在该区间上最多有n个实根

一元函数积分学

f(x)连续是指:

f(x)存在原函数是指:

f(x)可积是指: $存在$

f(x)连续, 可积, 有界, 有原函数之间的关系

$有原函数连续可积有界$

可积与存在原函数没有直接关系

$有第一类间断点没有原函数$

$连续有界且只有有限个间断点可积$

此外, $与的关系$

$连续可导$

$可积连续$

原函数的存在性

$连续有原函数$

$有第一类间断点没有原函数$

定积分的存在性

$连续可积$

$连续有界且只有有限个间断点可积$

$连续仅有有限个第一类间断点可积$

f(x)与其变上限积分函数的关系

$记的变上限积分函数为$

$连续连续可导且$

$存在可去间断点连续可导且$

$存在跳跃间断点连续不可导$

反常积分

$瑕点反常收敛无穷反常收敛$

定积分的应用

$平面域的面积$

$旋转体的体积直线不穿过旋转体其中$

$已知横截面面积的体积$

$曲线弧长$

$旋转体侧面积$

$细棒的质心$

$板的质心$

高数总结

泰勒公式

奇函数只有奇次项, 偶函数只有偶次项

等式两边一直求导, 可以求n阶导数

$求极限的过程广义上可以看作同阶同阶高阶低阶低阶高阶$

$其中同阶同阶常数高阶低阶低阶高阶不确定$

$不难得出低阶高阶低阶$

$使用泰勒公式的前提是在的邻域内有阶导数$

泰勒公式与等价无穷小

把高阶无穷小去掉, = 换成~既是等价无穷小的表达式, 按需调整余项为多少阶的高阶无穷小

$例如某些函数的有些次项为比如也可以写为$

泰勒公式与拉格朗日中值定理

$取令即拉格朗日中值定理的形式$

也就是拉格朗日中值定理是函数根据泰勒公式一阶展开的结果

那么可以知道, 在加减时使用等价代换不一定是正确的, 因为使用等价无穷小时所忽略后面的高阶无穷小, 有可能比上分母的极限不为0

此时使用等价代换与泰勒展开的结果是一样的 :

此时使用等价代换与泰勒展开的结果是不一样的: $然而实际上为$

原因在于: $而不确定$

$虽然这是显然的常数或$

同理, 拉格朗日中值定理处理某些极限也是不一定正确的

简单的

有关三角函数与反三角函数

注意到下面的等价代换, 显然这是换元可得的

有关可用二项式定理的函数

显然, 这是先求导后积分可得的

函数概念的理解

一元函数

$在处连续$

$在处连续在的某领域内连续$

经典例子

$为有理数为无理数$

$使得当时$

$使得当时单调增$

经典例子

可导但导数不存在: $可导存在$

可导但导数不连续(导数都不存在了, 那导数怎么可能连续): $可导连续$

经典例子

f(x) n 阶可导, 最多可洛 n-1次

f(x) n 阶连续可导, 最多可洛 n次

$存在在处连续$

$都存在在处连续$

$存在在处连续$

$都存在在处连续$

经典例子

$连续有原函数可积有原函数有界连续连续有界且只有有限个间断点连续且只有有限个第一类间断点可导存在可去间断点存在跳跃间断点有第一类间断点不是的原函数没有原函数$

多元函数

多元函数与一元函数在可导, 可微, 连续之间关系的差别

$在点处连续在点处两个偏导数存在在点处可微$

$在点处连续在点处两个偏导数连续在点处可微$

二元函数连续, 可(偏)导, 可微与一元函数有差别的原因在于二元函数可偏导只能保证沿x, y方向, 不能保证沿该邻域的任意方向; 那么如果偏导数连续, 也就是偏导数在该点的某个邻域内存在, 于是偏导数在这邻域内有定义, 而这个偏导数在该点连续

$可微偏导数连续$ 因为: $可微可偏导但是导数不一定存在进而偏导数不一定连续$

$存在在点处连续在点处可微$

$使得在点处可微$

$在邻域内有二阶连续偏导数又$

$令$

$有极值极小值极大值无极值不一定有极值用定义判断$

下面通过线性代数推导该结论

$在极值点二阶展开$

$为极值点为驻点$

$得$

$即$

又 $二阶混合偏导数连续$

$对于$

$不妨设正定为极小值$

$同理时负定为极大值$

$对于$

$不定不是极值$

$对于$

$有可能是极值点$

$若是鞍点显然不是极值点考虑其中满足同时是极值点$

微分方程

$一阶线性微分方程通解$

$二阶常系数齐次线性微分方程特征方程$

$二阶常系数非齐次线性微分方程$

$令若是特征方程的几重根就取几令其中是特征方程含根或的重复次数$

$下面介绍如何通过线性代数推导出的解$

$求导是线性运算且$

$记微分算子为对的求导运算显然有即的特征值为特征向量为$

$注意的为线性算子而的为线性变换$

$把微分方程化为矩阵与向量相乘形式$

$令则显然的特征值为特征向量为$

$现在问题转化为的求解问题也就是求的所有特征值为的特征向量$

$由解出分别讨论解的情况$

$若$

$的基础解系为通解为$

$若$

$显然满足除此之外也满足$

$基础解系为通解为$

$若$

$由可得$

$从而的基础解系为通解为$

$对于在求解其对应时同理$

$或求特解时$

$若或不是特征方程的根$

$也就代表或向量在做线性变换时没有被压缩$

$若或是特征方程的单根$

$也就代表或向量在做线性变换时被压缩到了点从而求特解时需多乘$

$若或是特征方程的二重根$

$也就代表或向量在做线性变换时被压缩到了点从而求特解时需多乘$

$以此类推重根代表求次导第一次不出现或$

求极限

分左、右极限求极限

分段函数在分界点处的极限

有时先求分段函数表达式, 再求极限

先用等价无穷小看看是什么形式

通分, 分母有理化, 取对数(结果别漏了e), 取指数(结果别漏了e), 夹逼准则, 定积分

泰勒公式, 等价无穷小, 拉格朗日中值定理

例如n项和的极限

变化部分是主体次量级，用夹逼原理

变化部分与主体同量级，用定积分定义

分子分母都有变化部分, 把分子或分母的变化部分放缩掉

夹不出来和定不出来的时候, ~~试试再夹~~, $试试乘类似右边的式子$

注意数列的极限转化成函数的极限, 不要漏了转化的步骤

注意取对数取指数, 最后的结果别漏了e

数列有极限有三种趋向方式: 有上界的趋向, 有下界的趋向, 震荡的趋向

$若数列单调此时再判断是否有界单调有界数列必有极限$

$若数列不单调此时采用其中均为常数$

函数与其导数及介值的联系

函数与其一阶导数

最值定理与费马引理: $在闭区间上连续的函数在该区间上有界一定能取得它的最值并且在处可导$

罗尔定理: $在闭区间上连续开区间内可导，使得$

拉格朗日中值定理: $在闭区间上连续，在开区间内可导，使得$

柯西中值定理: $在闭区间上连续，在开区间内可导，使得$

积分中值定理: $其中$ $其中为积分域的面积$ $其中不变号$

$遇到双中值若不要求在区间使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理$

$遇到双中值若要求把区间分为两个子区间分别在子区间使用拉格朗日中值定理$

函数与其偏导

函数与其高阶导数

泰勒中值定理: $介于与之间$

$上述是在时的展开形式那么也可以在处展开$

$即介于与之间$

多次分部积分

函数与其介值

零点定理: $在闭区间上连续且则在开区间内至少存在一点使$

介值定理: $在闭区间上连续且在这区间的端点取不同的函数值即$ $则对于与之间的任意一个数在开区间内至少存在一点使得$

高数常用结论

__main__

$若则构造$

$可导可导$

$可导可导$

$令则$

$若令若令若令$

极限相关的

$若$

二次结论

$在处连续在处可导$

$在处连续$

$当在处可导在处可导$

$当在处可导$

$若对任意有则称函数是次齐次函数$

$若可微则是次齐次函数$

$三角形面积其中$

全微分方程的

$全微分方程$

$不一定是一个全微分方程判定方法$

$解法偏积分凑微分线积分$

线性代数

逆序数

$因$

余子式和代数余子式

$余子式$

$代数余子式$

n阶矩阵运算

转置相关	伴随相关	可逆相关	行列式相关

特征值与特征向量

A	A+kE

特殊矩阵性质

$对称矩阵$

$反对称矩阵$

$正交矩阵$

schmidt正交化

线代总结

方程组的解

$为行列矩阵$

$若解$

$若解只有解$

$为行列矩阵$

$有解唯一解解$

$无解$

常用结论

$二次型的秩$

任何一个二次型都存在某个坐标变换, 使其化为标准型

实对称矩阵必可相似对角化, 实对称矩阵都存在某个正交变换, 使其化为标准型, 此时合同且相似

正定二次型的矩阵称为正定矩阵, 显然也是对称矩阵

向量组

$部分相关整体相关$

$低维无关高维无关$

$多由少不等表示多必相关$

$线性无关任意不全为的一组数恒有$

等价相似合同

$矩阵等价其中均可逆$

$向量组等价向量组可以互相线性表出向量组可由向量组线性表出且$

$矩阵相似使得$

$判断相似阶实对称矩阵$

$有个线性无关的特征向量重特征值有个无关的特征向量有个不同的特征值$

$阶实对称矩阵合同可逆矩阵使得同号$

二次型

$正定二次型顺序主子式全大于$

数学归纳法

$若先证明时成立设时成立证明时成立$

$若先证明和时成立假设时成立证明时成立$

不常用结论

三对角行列式

$那么设是方程的根那么$

$也就是说这个行列式的值就是在两点的差分当时用极限定义。$

秩为1的矩阵

秩为1的矩阵, 特征值为: 迹, 0, 0, …

三阶实对称矩阵

$对于三阶实对称矩阵$

$即$

数学合集

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函数极限连续

函数概念

两个基本要素

复合函数

反函数

函数性态

单调性

奇偶性

周期性

有界性

极限

极限概念

极限性质

极限存在准则

无穷小

无穷大

常用基本极限

连续

间断点

连续函数的性质

一元函数微分学

导数与微分

极值和拐点

渐进线

曲率

方程的根

一元函数积分学

原函数的存在性

定积分的存在性

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函数概念的理解

一元函数

多元函数

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函数与其导数及介值的联系

函数与其一阶导数

函数与其偏导

函数与其高阶导数

函数与其介值

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线性代数

逆序数

余子式和代数余子式

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特征值与特征向量

特殊矩阵性质

schmidt正交化

线代总结

方程组的解

常用结论

向量组

等价相似合同

二次型

数学归纳法

不常用结论

三对角行列式

秩为1的矩阵

三阶实对称矩阵